Maturità 2012: un po' di combinatoria

Ecco un altro quesito a cui sono sicuro molti non avranno risposto per la sua formulazione insolita.
5. Siano dati nello spazio n punti $P_{1}, P_{2}, P_{3},.... P_{n}$.
Quanti sono i segmenti che li congiungono a due a due? 
Quanti i triangoli che hanno per vertici questi punti (supposto che nessuna terna sia allineata)? 
Quanti i tetraedri (supposto che nessuna quaterna sia complanare)? 

Abbiamo n punti, quanti sono i segmenti che li uniscono?
Sappiamo che un segmento è determinato unendo 2 punti DISTINTI, quindi scelgo un punto A tra gli n punti e poi un punto B diverso dal primo (quindi scelgo tra n-1 punti) e li unisco.
In tutto posso fare $n(n-1)$ scelte diverse, ma non ho ancora il risultato corretto, perché tracciando un segmento da A a B oppure da B ad A identifico sempre lo stesso elemento.
Il numero dei segmenti è dunque:$$N_2=\frac{n(n-1)}{2}$$ Ora passiamo ai triangoli: visto che non ci sono punti allineati è sufficiente identificare tre punti diversi tra loro($n(n-1)(n-2)$). Anche qui abbiamo lo stesso problema: l'ordine con cui scelgo i punti non è rilevante per identificare un triangolo. Per ogni triade di punti ci sono $3\cdot2$ modi diversi in cui posso ordinarli, quindi: $$N_3=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$$ Il caso dei tetraedri non presenta maggiori sorprese: prendo 4 punti distinti e li divido per il numero totale di permutazioni che posso fare con 4 punti. $$N_4=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$$ I più attenti avranno già intuito che i risultati precedenti non sono altro che coefficienti binomiali: $$N_2=\binom{n}{2}$$ $$N_3=\binom{n}{3}$$ $$N_4=\binom{n}{4}$$