Maturità 2011: altra geometria!

Nel 2011 è uscito un problema di geometria piuttosto semplice e simpatico:

9. Si provi che, nello spazio ordinario a tre dimensioni, il luogo geometrico dei punti equidistanti dai tre vertici di un triangolo rettangolo è la retta perpendicolare al piano del triangolo passante per il punto medio dell’ipotenusa.
In realtà la formulazione mi sembra inutilmente macchinosa, è evidente che se il punto medio dell'ipotenusa è equidistante ai tre vertici del triangolo, tutti i punti della retta perpendicolare passante per il punto medio sono equidistanti ai vertici, per una semplice applicazione del teorema di Pitagora.
La sfida è un'altra: dimostrare che il punto medio dell'ipotenusa è equidistante ai vertici del triangolo.

E qui ci viene in aiuto un pizzico di inventiva: proviamo a disegnare un triangolo rettangolo identico ad ABC, ma rovesciato a partire dalla stessa ipotenusa.

Ora è evidente che ABDC  è un rettangolo e BC è una diagonale, ma poichè sappiamo che nei rettangoli le diagonali si bisecano (cioè si dividono in segmenti di uguale lunghezza), AM non può che essere uno dei bracci della diagonale AD.
E siccome le diagonali di un rettangolo sono banalmente uguali tra loro, è evidente che AM=BM=CM.