Maturità 2012: il quesito di Erone

Sono quasi certo che il 90% degli studenti abbia saltato a pie' pari questo quesito.

9. 
Il problema di Erone (matematico alessandrino vissuto probabilmente nella seconda metà del I secolo d.C.) consiste, assegnati nel piano due punti A e B, situati dalla stessa parte rispetto ad un retta r, nel determinare il cammino minimo che congiunge A con B toccando r. 
Si risolva il problema nel modo che si preferisce. 

In realtà si tratta di un risultato piuttosto semplice da ottenere, ma l'abitudine a voler cercare di applicare una formula come degli automi per dare un risultato numerico tende a paralizzare lo studente di fronte a un quesito proposto in maniera leggermente diversa.
Disegnamo la retta r e i due punti A e B.

Sappiamo che il nostro cammino deve toccare la retta in un punto P, siccome la via più breve tra due punti è una retta avremo un segmento AP e un segmento PB.

Il problema consiste ora in come scegliere P.

Notiamo che se "specchiamo" il punto B rispetto a r e otteniamo B', qualunque P io decida di prendere  il percorso APB sarà lungo tanto quanto APB'.
Un attimo, ma noi sappiamo che il percorso più breve che unisce A e B' è una retta, una retta che attraversa r in P'.

P' quindi minimizza la lunghezza del percorso da A a B' e perciò anche da A a B passando per r.
Abbiamo quindi trovato il percorso più breve in pochi rapidi passaggi, il tutto senza scrivere un conto.

NB: Questo teorema è molto interessante per le sue applicazioni nel campo dell'ottica, in quanto offre una gradevole formulazione alternativa della legge di riflessione della luce.