Maturità 2011: altra geometria!

Nel 2011 è uscito un problema di geometria piuttosto semplice e simpatico:

9. Si provi che, nello spazio ordinario a tre dimensioni, il luogo geometrico dei punti equidistanti dai tre vertici di un triangolo rettangolo è la retta perpendicolare al piano del triangolo passante per il punto medio dell’ipotenusa.
In realtà la formulazione mi sembra inutilmente macchinosa, è evidente che se il punto medio dell'ipotenusa è equidistante ai tre vertici del triangolo, tutti i punti della retta perpendicolare passante per il punto medio sono equidistanti ai vertici, per una semplice applicazione del teorema di Pitagora.
La sfida è un'altra: dimostrare che il punto medio dell'ipotenusa è equidistante ai vertici del triangolo.

E qui ci viene in aiuto un pizzico di inventiva: proviamo a disegnare un triangolo rettangolo identico ad ABC, ma rovesciato a partire dalla stessa ipotenusa.

Ora è evidente che ABDC  è un rettangolo e BC è una diagonale, ma poichè sappiamo che nei rettangoli le diagonali si bisecano (cioè si dividono in segmenti di uguale lunghezza), AM non può che essere uno dei bracci della diagonale AD.
E siccome le diagonali di un rettangolo sono banalmente uguali tra loro, è evidente che AM=BM=CM.

Maturità 2012: un po' di combinatoria

Ecco un altro quesito a cui sono sicuro molti non avranno risposto per la sua formulazione insolita.
5. Siano dati nello spazio n punti $P_{1}, P_{2}, P_{3},.... P_{n}$.
Quanti sono i segmenti che li congiungono a due a due? 
Quanti i triangoli che hanno per vertici questi punti (supposto che nessuna terna sia allineata)? 
Quanti i tetraedri (supposto che nessuna quaterna sia complanare)? 

Abbiamo n punti, quanti sono i segmenti che li uniscono?
Sappiamo che un segmento è determinato unendo 2 punti DISTINTI, quindi scelgo un punto A tra gli n punti e poi un punto B diverso dal primo (quindi scelgo tra n-1 punti) e li unisco.
In tutto posso fare $n(n-1)$ scelte diverse, ma non ho ancora il risultato corretto, perché tracciando un segmento da A a B oppure da B ad A identifico sempre lo stesso elemento.
Il numero dei segmenti è dunque:$$N_2=\frac{n(n-1)}{2}$$ Ora passiamo ai triangoli: visto che non ci sono punti allineati è sufficiente identificare tre punti diversi tra loro($n(n-1)(n-2)$). Anche qui abbiamo lo stesso problema: l'ordine con cui scelgo i punti non è rilevante per identificare un triangolo. Per ogni triade di punti ci sono $3\cdot2$ modi diversi in cui posso ordinarli, quindi: $$N_3=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$$ Il caso dei tetraedri non presenta maggiori sorprese: prendo 4 punti distinti e li divido per il numero totale di permutazioni che posso fare con 4 punti. $$N_4=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$$ I più attenti avranno già intuito che i risultati precedenti non sono altro che coefficienti binomiali: $$N_2=\binom{n}{2}$$ $$N_3=\binom{n}{3}$$ $$N_4=\binom{n}{4}$$

Maturità 2012: il quesito di Erone

Sono quasi certo che il 90% degli studenti abbia saltato a pie' pari questo quesito.

9. 
Il problema di Erone (matematico alessandrino vissuto probabilmente nella seconda metà del I secolo d.C.) consiste, assegnati nel piano due punti A e B, situati dalla stessa parte rispetto ad un retta r, nel determinare il cammino minimo che congiunge A con B toccando r. 
Si risolva il problema nel modo che si preferisce. 

In realtà si tratta di un risultato piuttosto semplice da ottenere, ma l'abitudine a voler cercare di applicare una formula come degli automi per dare un risultato numerico tende a paralizzare lo studente di fronte a un quesito proposto in maniera leggermente diversa.
Disegnamo la retta r e i due punti A e B.

Sappiamo che il nostro cammino deve toccare la retta in un punto P, siccome la via più breve tra due punti è una retta avremo un segmento AP e un segmento PB.

Il problema consiste ora in come scegliere P.

Notiamo che se "specchiamo" il punto B rispetto a r e otteniamo B', qualunque P io decida di prendere  il percorso APB sarà lungo tanto quanto APB'.
Un attimo, ma noi sappiamo che il percorso più breve che unisce A e B' è una retta, una retta che attraversa r in P'.

P' quindi minimizza la lunghezza del percorso da A a B' e perciò anche da A a B passando per r.
Abbiamo quindi trovato il percorso più breve in pochi rapidi passaggi, il tutto senza scrivere un conto.

NB: Questo teorema è molto interessante per le sue applicazioni nel campo dell'ottica, in quanto offre una gradevole formulazione alternativa della legge di riflessione della luce.

Prova di Matematica alla Maturità:i miei consigli.

Innanzitutto il materiale.
Oltre alla cancelleria, portatevi una buona calcolatrice scientifica, un orologio (gestire il tempo è importante) e compasso e squadre in caso di problemi di geometria: un buon disegno aiuta.
Prima di iniziare a lavorare leggete TUTTI i problemi e iniziate a scegliere i più rapidi da risolvere.
Meno calcoli dovete svolgere, meno errori di distrazione rischiate di fare.
Per fortuna avete molto tempo, ma la tensione peggiora la situazione, inoltre più ci si stanca e più il rendimento peggiora (la prima ora sarete sicuramente più produttivi della sesta).
Se un quesito non vi riesce non intestarditevi, ma passate oltre e provate a riprenderlo più tardi ripartendo da capo.
Finito il compito NON consegnate, ma rileggetevi con molta calma i problemi che avete svolto, potreste avere frainteso le parole del testo o magari aver sbagliato un conto molto semplice, proprio perchè era banale e non ci avete dedicato troppa attenzione.
Ultimo suggerimento: cercate per quanto possibile di rilassarvi o addirittura, se come me la matematica la amate, di divertirvi, affrontare queste prove senza sentire la tensione sarà un gran vantaggio.

Funzioni pari e dispari

Un trucchetto che torna utile utilizzare nelle prove di matematica della maturità è identificare se la funzione che stai studiando è pari o dispari.
Una funzione pari è simmetrica rispetto all'asse y (\(f(x)=f(-x)\)), una funzione dispari è antisimmetrica (\(f(x)=-f(-x)\)).

Verificarlo è facilissimo:
\(f(x)=x^3-x\) \(f(-x)=(-x)(-x)(-x)-(-x)=-x^3+x=-(x^3-x)=-f(x) \)
La funzione che abbiamo preso è dunque una funzione dispari.
Ora possiamo limitarci a studiare la funzione per \(x \in [0,\infty]\), una volta disegnata possiamo semplicemente ribaltare  il disegno e otteniamo la parte per x negativa.
Questo è particolarmente utile perché se la fne ha uno zero in x ne ha uno anche in -x, se ha un pto di massimo relativo in x ha un minimo (massimo se è pari) relativo in -x, se ha un flesso in x ne ha uno in meno -x eccetera.
Sapendolo si possono risparmiare un sacco di calcoli inutili e magari evitare di fare errori.